[<>]
~~TOC wide~~

{{anchor:appendix_d}}
====== Приложение Д. Системы представления чисел ======

Страницы 352–359

FIXME

{{anchor:d2}}
===== Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления =====
Независимо от системы счисления, число всегда может рассматриваться в качество полинома "по B", где B — основание. Более того, основание определяет общее количество цифр, используемых для написания чисел.

Следовательно abcd с основанием B может быть интерпретировано следующим образом:
\\ abcd = d * B<sup>0</sup> + c * B<sup>1</sup> + b * B<sup>2</sup> + a * B<sup>3</sup>
\\ Значение цифр a, b, c и d находится между 0 и B-1.

|<80% 20% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 20%>|
^  Система  ^  Используемые цифры  |||||||||||||||^  Основание  ^
|Двоичная         |  0  |  1  | | | | | | | | | | | | | | |  2  |
|Восьмеричная     |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  | | | | | | | | |  8  |
|Десятичная       |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |  9  | | | | | | |  10  |
|Шестнадцатеричная|  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |  9  |  A  |  B  |  C  |  D  |  E  |  F  |  16  |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | |
|Десятичное значение цифр|  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |  9  |  10  |  11  |  12  |  13  |  14  |  15  | |

В шестнадцатеричной системе не хватает 6 символов, необходимых для представления чисел со значением от 10 до 15, поэтому используются буквы от A до F.

__//Примечание//__: \\ Во всех системах последовательные степени основания записываются следующим образом: 1, 10, 100, 1000, 10000, …

{{anchor:d3}}
===== Преобразования =====
  - <WRAP>Преобразование из любой системы в десятичную. 
Преобразуемое число первоначально переводиться в полином:
|10011<sub>2</sub>|= 1*2<sup>0</sup>| + 1*2<sup>1</sup>| + 0*2<sup>2</sup>| + 0*2<sup>3</sup>| + 1*2<sup>4</sup>|
| |= 1| + 2| + 0| + 0| + 16|
|:::|= 19<sub>10</sub>|||||
| ||||||
|1AF<sub>16</sub>|= F*16<sup>0</sup>|+F*16<sup>1</sup>|+F*16<sup>2</sup>| ||
| |= F|+A*16|+256| ||
|:::|= 431<sub>10</sub>|||||
</WRAP>
  - <WRAP>Преобразование из десятичной в другую систему. Пусть B является основанием, к которому должно быть приведено число N1, записанное в десятичном виде.

Преобразование осуществляется следующим образом:
  * Вычисляется R1 = N1 MOD B \\ N2 = N1\B
  * Если N2 = 0, преобразование заканчивается. \\ Если N2 > 0, таким же образом вычисляются R2 и N3. \\ Полученная последовательность R1, R2, R3, … соответствует цифрам числа с основанием B.

__//Пример 1//__: записать 19 в двоичном виде:
|<30% 20% 80%>|
|R1|= 19 MOD 2 = 1|
|N2|= 19\2 = 9|
|R2|= 9 MOD 2 = 1|
|N3|= 9\2 = 4|
|R3|= 4 MOD 2 = 0|
|N4|= 4\2 = 2|
|R4|= 2 MOD 2 = 0|
|N5|= 2\2 = 1|
|R5|= 1 MOD 2 = 1|
|N6|= 1\2 = 0|
|19<sub>10</sub>|= 10011<sub>2</sub>|

__//Пример 2//__: записать 234 в шестнадцатеричном виде:
|<30% 20% 80%>|
|R1|= 234 MOD 16 = 10 → A|
|N2|= 234\16 = 14|
|R2|= 14 MOD 16 = 14 → E|
|N3|= 14\16 = 0|
|234<sub>10</sub>|= EA<sub>16</sub>|
</WRAP>
  - <WRAP>Преобразование "двоичная/шестнадцатеричная"

Преобразование между любыми двумя системами может осуществляться через посредство десятичной. Сначала преобразование идёт в соответствии с п.1, а затем — п.2.
Преобразование между двоичной и шестнадцатеричной системами может осуществляться быстрее:

__//Пример 1//__: записать 100011111<sub>2</sub> в шестнадцатеричном виде

Двоичное число делиться на группы из 4 цифр каждая, начиная справа. Затем отдельные группы прямо преобразуются в шестнадцатеричные цифры.
|<30% 30% 30% 30%>|
|  1  |  0001  |  1111  |
|  1  |  1  |  F  |
|100011111<sub>2</sub> = 11F<sub>16</sub>|||

__//Пример 2//__: записать 11F<sub>16</sub> в двоичном виде

Каждая шестнадцатеричная цифра переводиться в двоичную с добавлением необходимых нулей для получения групп из 4 двоичных цифр.

|<30% 30% 30% 30%>|
|  1  |  1  |  F  |
|  0001  |  0001  |  1111  |
|11F<sub>16</sub> = 000100011111 = 100011111<sub>2</sub>|||
</WRAP>

{{anchor:d4}}
===== Представление в памяти целых чисел =====

Итак, все числа должны быть записаны в электронной памяти компьютера в двоичном виде. Однако, существуют различия между "математическим" двоичным представлением, которое только что было объяснено, и компьютерным:
  * Математические целые числа могут быть любого размера, в то время, как размер чисел, хранимых в реальном компьютере, из практических соображений должен быть ограничен.
  * Для представления отрицательных чисел в математике перед числом просто ставиться знак минус. В памяти компьютера элементы могут представлять только 0 и 1. Поэтому для представления знака числа необходим специальный приём.

Элемент, способный представлять 0 и 1 называется битом.

Компьютерная память распределена на группы по восемь битов, называемые байтами. Компьютер может обратиться к содержимому любого байта в памяти по определённому "адресу".

Из практических соображений целое число храниться в двух байтах, что даёт 65536 различных конфигураций:
<code>
00000000 00000000 = 0
00000000 00000001 = 1
00000000 00000010 = 2
00000000 00000011 = 3
─────────────────────────
11111111 11111111 = 65536
</code>

На первый взгляд кажется, что два байта позволяют представить целые числа от 0 до 65536. Но на компьютере первый бит зарезервирован для //знака// числа: если первый бит — 0, число положительное; если же оно отрицательное, то первый бит — 1.

Следующие конфигурации битов представляют положительные числа:
<code>
00000000 00000000 = 0
00000000 00000001 = 1
─────────────────────────
01111111 11111111 = 32767
</code>

Кажется вполне естественным, что для образования отрицательных чисел в памяти компьютера достаточно заменить первый бит вышеуказанных конфигураций на 1 (обратите внимание, что в этом случае будут два представления нуля). Однако реально всё осуществляется несколько сложнее. Компьютер работает с представлением целого числа следующим образом:
  * Он начинает с конфигурации битов в "положительной форме".
  * Затем он инвертирует каждый бит (1 становиться 0, 0 становиться 1).
  * К младшему биту добавляется 1; игнорируется возможность переноса в старший бит.

__//Пример 1//__: представление -1
<code>
00000000 00000001 = + 1
11111111 11111110 все биты инвертированы
11111111 11111111 к младшему биту добавлена 1 (переноса нет)
</code>

В памяти компьютера -1 имеет то же двоичное представление, что и 65536 в математике. Поэтому -1 считается двоичным представлением 65536.

__//Пример 2//__: представление -32767
<code>
01111111 11111111 = 32767
10000000 00000000 инвертированные биты
10000000 00000001 добавлена 1
</code>

Таким образом, в двух байтах возможно представление следующих чисел:
<code>
00000000 00000000 = 0
00000000 00000001 = 1
──────────────────────────
01111111 11111111 = 32767
11111111 11111111 = -1
11111111 11111110 = -2
──────────────────────────
10000000 00000001 = -32767
10000000 00000000 = -32768
</code>

Итак, мы получили представление чисел от -32768 до +32767, т.е. всего 65535 различных значений.

Зачем нужно такое сложное представление?

На практике такое представление чисел с использованием дополнительного кода предоставляет два преимущества:
  - Одно представление нуля (+0 и -0 записываются в виде 16–ти нулевых битов).
  - Операция состоящая в получении двоичного дополнительного кода обратима. Для понимания того, что представляет 11111111 11111111, заметьте, что в первом бите 1 (следовательно представление отрицательное). Затем вычислите дополнительный код, который будет равен 00000000 00000001. Представлена -1.
  - Не требует специальных схем вычитания:
Для вычитания используется схема получения дополнительного кода и схема сложения.

__//Пример 1//__: как компьютер получает результат операции 256 - 8
<code>
256 = 00000001 00000000
  8 = 00000000 00001000
</code>

Двоичный дополнительный код этой конфигурации:
<code>
-8  = 11111111 11111000 
</code>

Компьютер получает сумму:
<code>
  00000001 00000000
+ 11111111 11111000
─────────────────────────
  00000000 11111000 = 248
</code>

__//Пример 2//__: вычисление 8 - 256
<code>
   8 = 00000000 00001000
 256 = 00000001 00000000
-256 = 11111111 00000000
       00000000 00001000
     + 11111111 00000000
─────────────────────────
       11111111 00001000
</code>
Для получения значения этого отрицательного числа вычисляется его дополнительный код, который равен 
<code>
00000000 11111000 = 248
</code>
В результате вычитания действительно получается -248.

----

[<>]

{{tag>MSX Book_msxbrm}}