Страницы 352–359

Независимо от системы счисления, число всегда может рассматриваться в качество полинома «по B», где B — основание. Более того, основание определяет общее количество цифр, используемых для написания чисел.

Следовательно abcd с основанием B может быть интерпретировано следующим образом:
abcd = d * B⁰ + c * B¹ + b * B² + a * B³
Значение цифр a, b, c и d находится между 0 и B-1.

В шестнадцатеричной системе не хватает 6 символов, необходимых для представления чисел со значением от 10 до 15, поэтому используются буквы от A до F.

Примечание:
Во всех системах последовательные степени основания записываются следующим образом: 1, 10, 100, 1000, 10000, …

1. Преобразование из любой системы в десятичную. Преобразуемое число первоначально переводиться в полином:

   100112	= 1*20	+ 1*21	+ 0*22	+ 0*23	+ 1*24
   	= 1	+ 2	+ 0	+ 0	+ 16
   	= 1910
   1AF16	= F*160	+F*161	+F*162
   	= F	+A*16	+256
   	= 43110

2. Преобразование из десятичной в другую систему. Пусть B является основанием, к которому должно быть приведено число N1, записанное в десятичном виде.

   Преобразование осуществляется следующим образом:

   • Вычисляется R1 = N1 MOD B
     N2 = N1\B
   • Если N2 = 0, преобразование заканчивается.
     Если N2 > 0, таким же образом вычисляются R2 и N3.
     Полученная последовательность R1, R2, R3, … соответствует цифрам числа с основанием B.

   Пример 1: записать 19 в двоичном виде:

   R1	= 19 MOD 2 = 1
   N2	= 19\2 = 9
   R2	= 9 MOD 2 = 1
   N3	= 9\2 = 4
   R3	= 4 MOD 2 = 0
   N4	= 4\2 = 2
   R4	= 2 MOD 2 = 0
   N5	= 2\2 = 1
   R5	= 1 MOD 2 = 1
   N6	= 1\2 = 0
   1910	= 100112

   Пример 2: записать 234 в шестнадцатеричном виде:

   R1	= 234 MOD 16 = 10 → A
   N2	= 234\16 = 14
   R2	= 14 MOD 16 = 14 → E
   N3	= 14\16 = 0
   23410	= EA16

3. Преобразование «двоичная/шестнадцатеричная»

   Преобразование между любыми двумя системами может осуществляться через посредство десятичной. Сначала преобразование идёт в соответствии с п.1, а затем — п.2. Преобразование между двоичной и шестнадцатеричной системами может осуществляться быстрее:

   Пример 1: записать 100011111₂ в шестнадцатеричном виде

   Двоичное число делиться на группы из 4 цифр каждая, начиная справа. Затем отдельные группы прямо преобразуются в шестнадцатеричные цифры.

   1	0001	1111
   1	1	F
   1000111112 = 11F16

   Пример 2: записать 11F₁₆ в двоичном виде

   Каждая шестнадцатеричная цифра переводиться в двоичную с добавлением необходимых нулей для получения групп из 4 двоичных цифр.

   1	1	F
   0001	0001	1111
   11F16 = 000100011111 = 1000111112

Итак, все числа должны быть записаны в электронной памяти компьютера в двоичном виде. Однако, существуют различия между «математическим» двоичным представлением, которое только что было объяснено, и компьютерным:

• Математические целые числа могут быть любого размера, в то время, как размер чисел, хранимых в реальном компьютере, из практических соображений должен быть ограничен.
• Для представления отрицательных чисел в математике перед числом просто ставиться знак минус. В памяти компьютера элементы могут представлять только 0 и 1. Поэтому для представления знака числа необходим специальный приём.

Элемент, способный представлять 0 и 1 называется битом.

Компьютерная память распределена на группы по восемь битов, называемые байтами. Компьютер может обратиться к содержимому любого байта в памяти по определённому «адресу».

Из практических соображений целое число храниться в двух байтах, что даёт 65536 различных конфигураций:

00000000 00000000 = 0
00000000 00000001 = 1
00000000 00000010 = 2
00000000 00000011 = 3
─────────────────────────
11111111 11111111 = 65536

На первый взгляд кажется, что два байта позволяют представить целые числа от 0 до 65536. Но на компьютере первый бит зарезервирован для знака числа: если первый бит — 0, число положительное; если же оно отрицательное, то первый бит — 1.

Следующие конфигурации битов представляют положительные числа:

00000000 00000000 = 0
00000000 00000001 = 1
─────────────────────────
01111111 11111111 = 32767

Кажется вполне естественным, что для образования отрицательных чисел в памяти компьютера достаточно заменить первый бит вышеуказанных конфигураций на 1 (обратите внимание, что в этом случае будут два представления нуля). Однако реально всё осуществляется несколько сложнее. Компьютер работает с представлением целого числа следующим образом:

• Он начинает с конфигурации битов в «положительной форме».
• Затем он инвертирует каждый бит (1 становиться 0, 0 становиться 1).
• К младшему биту добавляется 1; игнорируется возможность переноса в старший бит.

Пример 1: представление -1

00000000 00000001 = + 1
11111111 11111110 все биты инвертированы
11111111 11111111 к младшему биту добавлена 1 (переноса нет)

В памяти компьютера -1 имеет то же двоичное представление, что и 65536 в математике. Поэтому -1 считается двоичным представлением 65536.

Пример 2: представление -32767

01111111 11111111 = 32767
10000000 00000000 инвертированные биты
10000000 00000001 добавлена 1

Таким образом, в двух байтах возможно представление следующих чисел:

00000000 00000000 = 0
00000000 00000001 = 1
──────────────────────────
01111111 11111111 = 32767
11111111 11111111 = -1
11111111 11111110 = -2
──────────────────────────
10000000 00000001 = -32767
10000000 00000000 = -32768

Итак, мы получили представление чисел от -32768 до +32767, т.е. всего 65535 различных значений.

Зачем нужно такое сложное представление?

На практике такое представление чисел с использованием дополнительного кода предоставляет два преимущества:

1. Одно представление нуля (+0 и -0 записываются в виде 16–ти нулевых битов).
2. Операция состоящая в получении двоичного дополнительного кода обратима. Для понимания того, что представляет 11111111 11111111, заметьте, что в первом бите 1 (следовательно представление отрицательное). Затем вычислите дополнительный код, который будет равен 00000000 00000001. Представлена -1.
3. Не требует специальных схем вычитания:

Для вычитания используется схема получения дополнительного кода и схема сложения.

Пример 1: как компьютер получает результат операции 256 - 8

256 = 00000001 00000000
  8 = 00000000 00001000

Двоичный дополнительный код этой конфигурации:

-8  = 11111111 11111000 

Компьютер получает сумму:

  00000001 00000000
+ 11111111 11111000
─────────────────────────
  00000000 11111000 = 248

Пример 2: вычисление 8 - 256

   8 = 00000000 00001000
 256 = 00000001 00000000
-256 = 11111111 00000000
       00000000 00001000
     + 11111111 00000000
─────────────────────────
       11111111 00001000

Для получения значения этого отрицательного числа вычисляется его дополнительный код, который равен

00000000 11111000 = 248

В результате вычитания действительно получается -248.